Curiosidades sobre o Cubo Mágico

O cubo de Rubik, também conhecido como cubo mágico, é um quebra-cabeça tridimensional, inventado pelo húngaro Ernő Rubik em 1974.^[1] Originalmente foi chamado o "cubo Mágico" pelo seu inventor, mas o nome foi alterado pela Ideal Toys para "cubo de Rubik".^[1] Nesse mesmo ano, ganhou o prémio alemão do "Jogo do Ano" (Spiel des Jahres). Ernő Rubik demorou um mês para resolver o cubo pela primeira vez.
O Cubo de Rubik é um cubo geralmente confeccionado em plástico e possui várias versões, sendo a versão 3x3x3 a mais comum, composta por 6 faces de 6 cores diferentes, com arestas de aproximadamente 5,5 cm. Outras versões menos conhecidas são a 2x2x2, 4x4x4 e a 5x5x5.
É considerado um dos brinquedos mais populares do mundo, atingindo um total de 900 milhões de unidades vendidas, bem como suas diferentes imitações.

Índice

[esconder]

Descrição

O invento, descendente dum protótipo 2x2x2, criado por Larry Nichols (Lavourensis Plenus) em Março de 1970, é um quebra-cabeça que consiste num cubo. Cada uma das suas seis faces está dividida em nove partes, 3x3, num total de 26 peças que se articulam entre si devido ao mecanismo da peça interior central, oculta dentro do cubo.

História

O primeiro protótipo do cubo foi fabricado em 1974 quando Ernő Rubik era professor do Departamento de Desenho de Interiores da Academia de Artes e Trabalhos Manuais Aplicados de Budapeste (Hungria). Quando Rubik criou este quebra-cabeça, a sua intenção era criar uma peça que fosse perfeita, no que se refere à geometria, para ajudar a ilustrar o conceito da terceira dimensão aos seus alunos de arquitetura. A primeira peça que realizou foi em madeira e pintou os seus seis lados com seis cores distintas, para que, quando alguém girasse as faces do cubo, tivesse uma melhor visualização dos movimentos realizados.

Número de combinações possíveis no cubo de Rubik

Por uma parte podemos combinar entre si, de qualquer forma, todos os vértices, o que dá lugar a $8!\,\!$ possibilidades.
Também temos as combinações dos cubos das arestas que são 12, existindo assim $12!\,\!$ possibilidades.

Mas o total de permutações de vértices e arestas deve ser par, o que elimina a metade das possibilidades.

Sendo que tem 3 cores em cada cubo de vértice e sendo 8 cubos temos $38$ possibilidades, contudo apenas $\frac {1}{3}$ dessas possibilidades procedem.
Sendo que temos 2 cores e cada cubo das arestas temos $212$ possibilidades, contudo apenas $\frac {1}{4}$ dessas possibilidades procedem.

Além disso, podemos girar todos os vértices, salvo um, sem mudar nada mais no cubo. A orientação do último vértice seráá determinada pela que orientação dos outros sete, e isto cria $3^7\,\!$ possibilidades. O mesmo deve ocorrer com as arestas, pois aparecem mais $2^{11}\,\!$ possibilidades.
No total, o número de combinações possíveis no Cubo de Rubik é:
${8! \cdot 12! \cdot 3^7 \cdot 2^{11}} \over 2$ = 43.252.003.274.489.856.000^[2]
Se alguém pudesse realizar todas as combinações possíveis a uma velocidade de 1 movimento por segundo, demoraria 1400 trilhões de anos, supondo que nunca repetisse a mesma combinação.^[3]

Teorias sobre a Resolução

O cubo de Rubik é um teste básico para problemas de busca e enumeração." diz Gene Cooperman . "Busca e enumeração é uma enorme área de pesquisas, abrangendo muitos pesquisadores trabalhando em diferentes disciplinas - da inteligência artificial às operações. O cubo de Rubik permite que os pesquisadores de diferentes disciplinas comparem seus métodos em um problema único e bem conhecido.
Os movimentos executados para resolver o cubo, na realidade são comutadores, definidos pela fórmula:
[a,b] = a * b * a ^ (-1) * b ^ (-1)

Solução ótima

Utilizando a teoria dos grupos, Gene Cooperman e Daniel Kunkle testaram não apenas movimentos individuais, mas também grupos de movimentos, de forma a otimizar a solução. Foram 100 milhões de movimentos por segundo, até chegar ao resultado final.
E parece haver espaço para melhorias nos cálculos. Em 1997, o professor de ciência da computação Richard Korf afirmou que a solução ótima para o cubo de Rubik é de 18 movimentos. Até então, o melhor método, chamado de método Fridrich, elaborado por Jessica Fridrich, possibilitava a resolução do cubo em menos de 30 segundos.

Algoritmo de Deus

Um algoritmo que conseguisse resolver qualquer cubo de Rubik no menor número de movimentos possíveis é designado por "algoritmo de Deus", assim denominado porque, supostamente, seria necessário ter sabedoria de um ser superior para realizar tal proeza. Em 2005, o menor número de movimentos para resolver o cubo era de 28. Em 2007, passou a 26. ^[4] Em 2010, foi provado que o número exato é 20. Para chegar a esse cálculo, alguns matemáticos, um engenheiro do Google e um programador dividiram o problema em 2.217.093.120 partes. A partir daí, os pesquisadores usaram a infraestrutura da companhia americana para processar os dados, chegando à conclusão.^[5]

Permutações, grupos e as Configurações do Cubo

Uma permutação é um rearranjo de um conjunto de objetos. Matrizes são convenientes para descrever permutações. Mas há um modo mais simples: a notação de ciclos. Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.
S1 → S2 →…→ Sn → S1 Os movimentos R; L; F; B; U; D permutam o conjunto das facetas. Um fato importante surge quando usamos a notação de ciclos: toda permutação se decompõe como "produto" de ciclos disjuntos.

Aplicação Prática

Uma das possíveis aplicações práticas desse algoritmo é, por exemplo, na Criptografia de Dados através da Permutação.

Recorde

O recorde mundial de menor tempo para solucionar o enigma do cubo mágico é de 6.65s conseguido pelo australiano Feliks Zemdegs em janeiro de 2011.^[6]